高考数学概念方法题型易误点技巧总结

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义 ：

（1） 第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ： 椭圆中 ，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数 ，且此 常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小于 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于 | F F | ， 定义中的 “绝对值”与 ＜|F F |不可忽视 。若 ＝| F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若 ﹥ | F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（1） 已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．  B．  C．         D． （答：C）； （2） 方程 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2） 第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ，且 “ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。 如 已知点 及抛物线 上一动点P（ x ,y ） , 则 y+|PQ| 的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程 （ 标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：

（1） 椭圆 ： 焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为参数），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 如（1） 已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为____（答：）； （2） 若 ，且 ，则 的最大值是____， 的最小值是___（答： ）

（2） 双曲线 ： 焦点在 轴上：  =1 ，焦点在 轴上： ＝1（ ）。 方程 表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC≠0，且A，B异号 ）。 如（1） 双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答： ）； （2） 设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线C过点 ，则 C的方程为 _______（答： ）

（3） 抛物线 ：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。

3.圆锥曲线焦点位置的判断 （首先化成标准方程，然后再判断） ：

（1） 椭圆 ：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 _ _（答：  ）

（2） 双曲线 ： 由 , 项系数的正负决定， 焦点在系数为正的坐标轴上；

（3） 抛物线 ： 焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒 ： （1） 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。

4.圆锥曲线的几何性质 ：

（1） 椭圆 （以 （ ）为例）： ① 范围： ； ② 焦点： 两个焦点 ； ③ 对称性： 两条对称轴 ，一个对称中心（0,0）， 四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ； ④ 准线： 两条准线 ；  ⑤ 离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。 如（1） 若椭圆 的离心率 ，则 的值是 __ （答： 3或 ）； （2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 __ （答： ）

（2） 双曲线 （以 （ ）为例）： ① 范围： 或 ； ② 焦点： 两个焦点 ； ③ 对称性： 两条对称轴 ，一个对称中心（0,0）， 两个顶点 ，其中实轴长为2 ，虚轴长为2 ， 特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ； ④ 准线： 两条准线 ；  ⑤ 离心率： ， 双曲线 ， 等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大； ⑥ 两条渐近线： 。 如（1） 双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于______（答： 或 ）； （2） 双曲线 的离心率为 ，则 =       （答： 4或 ）； （3） 设双曲线 （a>0,b>0）中，离心率e ∈[ ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是 ________ （答： ）； 

（3） 抛物线 （以 为例）： ① 范围： ； ② 焦点： 一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离； ③ 对称性： 一条对称轴 ，没有对称中心，只有 一个顶点（0,0） ； ④ 准线： 一条准线 ；  ⑤ 离心率： ，抛物线 。 如 设 ，则抛物线 的焦点坐标为 ________ （答： ）；

5、点 和椭圆 （ ）的关系 ：（1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆上 ＝1；（3）点 在椭圆内

6． 直线与圆锥曲线的位置关系 ：

（1）相交： 直线与椭圆相交；   直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（1） 若直线y=kx+2与双曲线x 2 -y 2 =6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是 _______（答： (- ,-1) ）； （2） 直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； （3） 过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若 │AB︱＝4，则这样的直线有_____条 （答： 3 ）；

（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；

（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。

特别提醒 ： （1） 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线 相交 , 但 只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线 相交 , 也 只有一个交点 ； （2） 过 双曲线 ＝1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： ① P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； ② P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； ③ P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④ P为原点时不存在这样的直线； （3） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如（1） 过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2） 过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答： ）； （3） 过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点，若 4，则满足条件的直线 有____条（答：3）； （4） 对于抛物线C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）； （5） 过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 、 ，则 _______（答：1）； （6） 设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）； （7） 求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ）； （8） 直线 与双曲线 交于 、 两点。 ① 当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？ ② 当 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答： ① ； ② ）；

7、焦半径 （圆锥曲线上的点P到焦点F的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。 如（1） 已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答： ）； （2） 已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； （3） 若该抛物线上的点 到焦点的距离是4，则点 的坐标为_____（答： ）； （4） 点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答： ）； （5） 抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到 轴的距离为______（答：2）； （6） 椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使  之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）；

8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中，  ① ＝ ，且当 即 为短轴端点时， 最大为 ＝ ； ② ，当 即 为短轴端点 时， 的最大值为 bc ； 对于双曲线 的焦点三角形有： ① ； ② 。 如（1） 短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为________（答：6）； （2） 设P是等轴双曲线 右支上一点，F 1 、F 2 是左右焦点，若 ，|PF 1 |=6，则该双曲线的方程为             （答： ） ；（3） 椭圆 的焦点为F 1 、F 2 ，点P为椭圆上的动点，当 → ( PF2 ) · → ( PF1 ) <0 时，点P的横坐标的取值范围是   （答： ）； （4） 双曲线的虚轴长为4，离心率e＝ ，F 1 、F 2 是它的左右焦点，若过F 1 的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 是 与 等差中项，则 ＝__________ （答： ）； （5） 已知双曲线的离心率为2， F 1 、F 2 是左右焦点，P为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程（答： ）；

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与 x 轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若P为A B 的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于 x 轴，反之，若过B,点平行于 x 轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10、弦长公式 ：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地， 焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 如（1） 过抛物线y 2 =4x的焦点作直线交抛物线于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）两点，若x 1 +x 2 =6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2） 过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则 ΔABC重心的横坐标为 _______（答：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到 中点弦 问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在 椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= － ；在 双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 如（1） 如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是          （答： ）； （2） 已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）； （3） 试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答： ）； 

特别提醒 ：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！

12．你了解下列结论吗 ？

（1）双曲线 的渐近线方程为 ；

（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参数， ≠0）。 如 与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_______（答： ）

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； 

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线 的焦点弦为AB， ，则 ① ； ②

（7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

13．动点轨迹方程 ：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

（2）求轨迹方程的常用方法：

① 直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ； 如 已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或 ）；

② 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如 线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0） ，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为           （答： ）；　

③ 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1) 由动点P向圆 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60 0 ，则动点P的轨迹方程为           （答： ）； （2） 点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答： ）； (3)  一动圆与两圆⊙M： 和⊙N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为     （答：双曲线的一支）；

④ 代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如 动点P是抛物线 上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答： ）；

⑤ 参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 如（1） AB是圆O的直径，且|AB|=2 a ，M为圆上一动点，作MN ⊥ AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点 的轨迹。（答： ）； （2） 若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是____（答： ）； （3） 过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答： ）；

注意 ： ① 如果问题中 涉及到平面向量知识 ，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如 已知椭圆 的左、右焦点分别是 F 1 （－ c ， 0 ）、 F 2 （ c ， 0 ）， Q 是椭圆外的动点，满足 点 P 是线段 F 1 Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F 2 Q 上，并且满足 （1）设 为点 P 的横坐标，证明 ；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M ，使△ F 1 MF 2 的面积 S= 若存在，求∠ F 1 MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由 .  （答：（1）略；（2） ；（3）当 时不存在；当 时存在，此时∠ F 1 MF 2 ＝2）

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上 特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中， 常借助于 “平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么 可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化.

14、解析几何 与向量综合时可能出现的向量内容 ：

（1）  给出直线的方向向量 或 ；

（2） 给出 与 相交,等于已知 过 的中点;

（3） 给出 ,等于已知 是 的中点;

（4） 给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;

（5）  给出以下情形之一： ① ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知 三点共线.

（6）  给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即

（7）  给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角,

（8） 给出 ,等于已知 是 的平分线/

（9） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;

（10）  在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形;

（11） 在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（ 三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 ）；

（12）  在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（ 三角形的重心是三角形三条中线的交点 ）；

（13） 在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（ 三角形的 垂 心是 三角形三条高的交点 ）；

（14） 在 中，给出 等于已知 通过 的内心；

（15） 在 中，给出 等于已知 是 的内心（ 三角形内切圆的圆心，三角形的内心是 三角形三条角平分线的交点 ）；

（16）  在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线;